La mia sceneggiatura della conferenza

È un grande onore e un grande piacere essere stato invitato a questa conferenza per parlarvi di matematica. Ringrazio vivamente gli organizzatori per avermi dato l’opportunità di condividere la mia passione per gli intrecci e la modellazione matematica. Troverai tutte queste informazioni, tra le altre in italiano, su questo sito. Mi chiamo Christian Mercat, sono professore di didattica della matematica all’università di Claude Bernard Lyon 1 e vi parlerò di modellazione matematica e di intrecci. In particolare, impareremo insieme come l’astrazione matematica apre le porte a un mondo fantastico, in cui diventi un designer prodigio, in grado di disegnare senza sforzo un bellissimo intreccio. Innanzitutto, mi presento, sono il vicedirettore del Istituto di Ricerca sull’Insegnamento de la Matematica (IREM) di Lione. È una rete di 28 istituti in Francia. Insegno anche matematica, specialmente ai futuri insegnanti. Lione è una città interessante, un luogo dove la ricerca sull’insegnamento della matematica è alimentata da collaborazioni con l’École normale supérieure, l’Istituto francese di istruzione, le scuole di ingegneria e soprattutto la casa di matematica . Quindi vi mostrerò il potere della matematica su questo singolare esempio di intrecci.

Vedremo come la matematica ci aiuta in questo. Il mio amico e collega Cédric Villani, che aveva la più alta distinzione in matematica, la medaglia Fields, ha una metafora molto significativa per questo. Paragona la matematica a Lady Shalott, un personaggio dei romanzi romantici della letteratura inglese del XIX secolo. La povera ragazza fu colpita da un incantesimo che le impediva di guardare la realtà in faccia, poteva solo osservarla nel suo riflesso in uno specchio. Ma quando il bellissimo Lancillotto del lago passò sul suo cavallo, non riuscì a trattenersi e lo ammirò di fronte e morì. Ho rappresentato Lancillotto come Cédric Villani.

La morte scientifica è il destino che attende il matematico che confonde il suo modello con la realtà. Perché la matematica vede il mondo solo nel suo riflesso nello specchio della modellazione.

Quando parliamo con un matematico della modellazione, di solito abbiamo questo in mente. È molto impressionante, abbiamo qui le formule più belle della matematica. Uno scienziato si inginocchia davanti a queste equazioni. Riassumono tutti i grandi modelli che spiegano il mondo oggi. Tuttavia, non devi aspettare di essere in un master del 2 ° anno per essere in grado di comprendere il potere della modellazione matematica.

La matematica non è ovunque in natura, è negli oggetti tecnici perché l’uomo l’ha messa lì. Ma la matematica rende possibile parlare di molti fenomeni naturali e li descrive con incredibile efficienza.

Ecco un piccolo video in cui hai sulla destra un fenomeno, nel mezzo una modellazione matematica, e sulla sinistra la teoria che giustifica questo modello.

La matematica è come un prisma che scompone una realtà complessa, "bianca", in una miriade di piccoli modelli adattati alla situazione che vogliamo osservare. Ad esempio, per modellare questa stanza, potrei parlare della luce, di come entra, di come viene riflessa, di come viene diffusa, di come circola l’aria, o persino di elettricità o informazioni. Per descriverti, posso essere interessato al tuo sesso, alla tua età, alle tue motivazioni, al tuo background scientifico, o non è importante per me in quel momento.

Modellare è scegliere di ignorare, mettere cose diverse nella stessa borsa e considerare diverso un punto particolare su cui ci concentriamo.

E funziona ! Questa è "l’irragionevole efficienza della matematica di Eugene Wigner. La mia amica Mickaël launay parla del teorema dell’ombrello : per andare da un punto in cui è asciutto all’altro quando piove, inventiamo uno spazio astratto, in cui non c’è pioggia, è il modellazione verticale, che va dalla realtà a un modello astratto. Risolviamo il problema in questo spazio lì, è la modellazione orizzontale, quindi torniamo alla realtà. Vedremo cosa succede con l’interlacciamento.

I trafori, i nodi, le trecce, i grovigli, sono oggetti di uso quotidiano, abbiamo bisogno di loro per legare le nostre scarpe, per legare le tende, per legarci i capelli. Ma gli Incas li usarono per contare e amministrare il loro impero.

Sebbene gli intrecci siano usato per creare graziosi nodi, trecce e tatuaggi, è anche un oggetto di studio matematico allo stesso modo di numeri o triangoli. Il nodo del trifoglio è anche un’icona della topologia. La topologia è lo studio del luogo, accanto al nastro de Möbius e al toro, indistinguibile dalla coppa agli occhi di un topologo. La topologia è una branca della geometria che studia le proprietà delle figure che non cambiano quando viene effettuata una deformazione.  Le parole della topologia sono punto, vicinanza, interno, esterno, bordo, sotto-sopra, orientamento, destra-sinistra ; parole di cui dovremo parlare di intrecci.

Questi sono oggetti della scienza, che risalgono al principe della matematica, Carl Friedrich Gauss, che ha inventato questa formula molto impressionante che ho messo qui solo per il suo aspetto estetico. Alla fine del ventesimo secolo, a Vaughan Jones fu assegnata una medaglia Fields per un polinomio che consentiva di calcolare gli invarianti di nodi, ma non entrerò in questi dettagli affascinanti. Calcoliamo con i disegni ! E impariamo le tabelle di moltiplicazione in cui gli elementi non sono numeri ma nodi !

E c’è anche nel cuore della vita, il DNA delle nostre cellule fa nodi e questo interessa i biologi.

Ma sono sempre stati usati per abbellire, dalle tombe medievali ai tatuaggi contemporanei.

Nell’Europa settentrionale questi intrecci sono chiamati intrecci celtici perché compaiono nelle bibbie illuminate del nono secolo come la bibbia di Kells in Dublin nel Trinity College. Sono invitato ogni anno a fare intrecci all’università di Dublino. Ma allo stesso tempo, stava accadendo un evento molto importante nel mondo, era la jihad, l’estensione dell’Islam in un enorme impero dalla Spagna all’India ! Il divieto, in tutto e per tutto relativo, di rappresentazione delle figure, ha svolto, a Baghdad, un lavoro molto fornito sulle simmetrie, sulle pavimentazioni ecc., E in particolare sull’intrecci. Gli scribi musulmani di Baghdad erano in effetti molto più esperti dei nostri monaci cristiani irlandesi.

Il metodo che sto per insegnarvi è così semplice che i peggiori studenti, i computer, possono farlo.

Adesso impareremo come disegnare bellissimi intrecci.

Dietro questa treccia che può sembrare complicata, c’è in effetti un semplice oggetto matematico : un grafo planare. È possibile incontrare la parole "grafo" in classe, come il grafo della funzione affine che con x associa ax + b=0 la parabola della funzione quadrata. Ma questo non è ciò di cui stiamo parlando qui, sono semplicemente punti collegati da linee nel piano. Poiché ci piacciono le parole precise e sofisticate, diremo vertici collegati da archi. e siamo immediatamente più intelligenti. Notare che questo grafo in rosso sembra molto più semplice della treccia che modella. Astrarre in matematica è semplificare, sostituire la realtà con un modello in cui abbiamo momentaneamente dimenticato il colore e la larghezza dei nastri intrecci per conservare solo gli elementi essenziali. Possiamo davvero descrivere il grafo che codifica questa treccia con una scala triangolare da cui rimuoviamo una barra su tre. E per quanto riguarda il numero 0, che significa che non c’è nulla, preferisco disegnare il archo e attraversarlo. Vedremo ora come passare dal grafo all’intreccio. La procedura per costruire il nodo che codifica si svolge in tre fasi : metteremo dei incrocio nel mezzo di ciascuno degli archi, quindi collegheremo questi fili l’uno con l’altro e infine decideremo dall’alto verso il basso. Ora costruiamo un grafo di grandi dimensioni, con una penna colorata, nel mezzo del nostro foglio. In effetti hai già incontrato grafi planari ma non li hai presentati come tali. Punti collegati da linee ? Ad esempio 3 vertici e 3 archi ? Un triangolo ovviamente ! Anche un quadrato. Questo grafo ha 5 vertici e 4 archi per il quadrato, 3 per il triangolo, ma ce n’è uno in comune, che fa 6 archi. Quindi faremo un nodo con 6 incroci. Mettiamo un incrocio, una croce, nel mezzo di ogni archo. Proprio nel mezzo e ben orientato, ad un angolo con li archo né troppo dritto né troppo piatto, diciamo tra 30 e 60 °.  Ora immagina te stesso in un labirinto i cui archi sono i muri, che non puoi attraversare, tranne nel mezzo, dove c’è un incrocio. Ogni croce ha quattro pezzi de cordino. Prendi un pezzo de cordino in mano, segui il muro, gira l’angolo, il pezzo successivo che incontri, ti connetti ad esso. Quindi andiamo da qui con questa direzione a lì con questa direzione. Usciamo da questa direzione, seguiamo il muro, giriamo l’angolo, seguiamo il muro, arriviamo lì con questa direzione, ci colleghiamo così. Quindi da qui a lì ... Assicurati di non attraversare mai un muro ma di attraversare la porta, di collegarti al filo successivo e non a quello successivo, e che tutti gli incroci siano nel mezzo di un archo ! In realtà, non c’è altra scelta se non quella di lasciare che l’artista che è in se stesso parli e faccia degli angoli arrotondati nell’orecchio dell’orso o nell’orecchio del gatto. Possiamo regolare leggermente il percorso del filo. Trasforma ora questi incroci in ponti con una strada che lo attraversa e l’altra in basso. Scegli una croce. Si svolge nel mezzo di un archo con due vertici alle estremità. Scegline uno. Immaginati all’angolo, guardando l’incrocio e metti il braccio destro sul braccio sinistro. Tra questi due fili, quello che va sopra viene da destra e io disegno così, mentre il filo che viene da sinistra va sotto e lo disegno così. Lo faccio di nuovo per tutti gli incroci. Mi immagino all’angolo, guardando l’incrocio, passo il filo destro in alto, il filo viene da sinistra in basso. Si noti che non dipende dal vertice scelto perché l’immagine ottenuta è simmetrica da una simmetria centrale. Dobbiamo ancora collegare questi ponti tra loro, avendo cura di mantenere il filo al centro del nastro, sempre della stessa larghezza. Otteniamo così un intreccio avvolto alternato, che passa alternativamente sopra e sotto ad ogni incrocio. Se vuoi renderlo più bello, puoi colorare lo sfondo del intreccio, ma non lo stesso intreccio, non vedremmo più nulla ! Ora puoi fare come i monaci dell’abbazia di Kells e inventare le tue illuminazioni ! Devi solo creare un grafo planare e applicare il metodo ! Prenditi 10 secondi per apprezzare il tuo lavoro e renditi conto che senza la matematica e la modellazione del nodo da un grafo planare astratto, non sareste riusciti a disegnare un intreccio così bello.

I segreti matematici del disegno di bellissimi intrecci sono : “l’astrazione non è il nemico !”

Nodi e intrecci nelle bibbie medievali, ornamenti architettonici o tatuaggi tribali possono essere molto impressionanti, e sembrano creati da persone di abilità sovrumana. In questo seminario ne abbiamo svelato il mistero, iniziandovi al segreto dei disegni dei nodi : questo richiede di dimenticare di odiare la matematica.

La matematica permette di vedere dietro la realtà e sbirciare nel mondo delle idee, modellando un nodo con un oggetto molto semplice : un grafo. È abbiamo sperimentato che l’astrazione è davvero una semplificazione. Sarete in grado di descrivere facilmente i nodi ad altre persone, di ricordarli : per disegnare bellissimi intrecci, l’astrazione non è il nemico !